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 
  
Now we will solve (3) by applying proposition 3.1 with f t ,S t ln S by (a). When
t
the parameters  and  are constant and  is fixed then

=a  S , = σS , X =  y   1 S
b
t t t t i t t

f  f  1  2 f 1
 ,t S   ,  ,t S   , =- .
0
t  t  S t S  S 2 S 2
t t t t
We substitute all into (a)


 
   ln S t   0  1   S ds  1 t   2 S  2   1   ds
ln S

t 0 s s  2 
0   S s   2 0  S s 
t   1   N t
 

 
s 
   S       dB   ln S   y  1 S   ln S t   

0  s   S s    i 1  t t t
 S  t 1 t t N  t  S    y   1 S   
s 
ds 
ln   t        2 ds   dB   ln   t t t  
 S 0  0 2 0 0 i 1     S t     
 S  1 N t


 

ln  t    (t 0)   2 (t 0)   B  B     ln y 
  t 0  t 
 S 0  2 i 1
 S   1  N t
 
t 

ln   S t 0          2  2   t  B  i 1   ln y t  
  S    1  N t  
t 

exp ln   t    exp     2  t  B   ln y 
   
  S    2  t  
  0      i 1 
 1   N t  
t 

S  S exp     2  t  B   ln y  .
  
t 0  t 
 2   i 1  
Hence,

 1   N t  
t 
S  S exp     2  t  B  Y (4)


t 0 i
 2   i 1  